Z-Tabelle
Die Z-Tabelle (Standardnormalverteilungstabelle) ist ein nützliches Werkzeug der Statistik, um auf einfache Weise anhand bekannter Fehlerraten (z.B. ppm-Rate) ein standardisiertes Wahrscheinlichkeitsmaß für die Prozessqualität (Sigma-Niveau) abzuleiten. 1. Der hierzu nächstgelegene Wert in der Z-Tabelle ist 0,1736087622. Den Wert aus der linken Spalte inkl. 1. Nachkommastelle ablesen (➡0,9)3. Den Wert aus der obersten Spalte für die 2. Nachkommastelle ablesen (➡0,04)4. Die Addition der abgelesenen Werte ist der Z-Wert: 0,9 + 0,04 = 0,945. Die Prozessgüte beträgt 0,94σ ➡ nur 82,6% aller Werte entsprechen wahrscheinlich dem vorgegebenen Sollwert ➡ Optimierungspotenzial für Qualität und Prozess!
Ursprung und Herleitung
Im 19. Jahrhundert entdeckte Carl Friedrich Gauß bei der Analyse astronomischer Daten, dass kleinere Abweichungen häufiger auftreten als größere Differenzen und dass die Messwerte symmetrisch um einen Mittelwert gruppiert sind, wodurch eine Glockenkurve entsteht, deren Höchstpunkt den Mittelwert darstellt. Aus dieser Erkenntnis leitete Gauß eine Formel her, die in der Statistik zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten als „Gaußsche Normalverteilung“ bekannt ist. Da mathematische Daten theoretisch gegen unendlich gehen, definierte man drei Wahrscheinlichkeitsbereiche, die als „Schranken“ bezeichnet werden und in der „68-95-99,7-Regel“ wie folgt zusammengefasst sind: 🔸68 % der Werte liegen innerhalb von ±1 Standardabweichung σ🔸95 % der Werte liegen innerhalb von ±2 σ🔸99,7 % innerhalb von ±3 σ In der Z-Tabelle sind die kumulierten Wahrscheinlichkeiten (Flächen unter der Glockenkurve) für Z-Werte angegeben, die die Standardnormalverteilung beschreiben. Der Z-Wert gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt ist und wird berechnet durch die Z-Transformation: Z=(X-μ)/σ Dabei ist
X der gemessene Wert. μ der Mittelwert der Verteilung. σ die Standardabweichung der Verteilung. Durch die Umstellung der Formel nach σ ergibt sich, dass das Sigma-Level und der Z-Wert identisch sind. Anwendung und Nutzen der Z-Tabelle zur Bestimmung des Sigma-Niveaus
Um das Sigma-Niveau eines Prozesses zu ermitteln, liest man den Z-Wert in der Z-Tabelle ab. Dabei wird zunächst der nächstgelegene Wert zur bekannten Fehlerrate in der Tabelle gesucht. Anschließend liest man zuerst den Wert in der linken Spalte inkl. 1. Nachkommastelle ab und danach den Wert der obersten Zeile für die 2. Nachkommastelle. Mithilfe der Z-Tabelle erhält man also eine schnelle und einfache Aussage über die Prozessgüte. Schrittweise Vorgehensweise bei einer ppm-Rate von 174.000 bei einseitiger Betrachtung (siehe Abbildung, Sollwert ist mit ≥ angegeben ➡ 17,4% weichen ab)
Zusammenfassung:
Je größer der Z-Wert, desto weiter ist die Entfernung zum Mittelwert. Daraus ergibt sich, dass mit zunehmendem Z-Wert die Wahrscheinlichkeit sinkt, dass ein Wert vorkommen kann. Ein kleiner Z-Wert weist demnach auf eine höhere Häufigkeit hin.
Cindy Heinzemann
Training, Coaching, KursentwicklungDank ihrer langjährigen und umfassenden Erfahrung in der Leitung von LEAN- und SIX SIGMA-Projekten sowie im Coaching begleitet Cindy Heinzemann unsere Teilnehmenden zielgerichtet durch die Kurse. Mit ihrem fundierten Fachwissen und ihrer positiven Art versteht sie es, theoretische Inhalte mit praxisnahen Erfahrungsberichten zu verbinden und dadurch den Lernerfolg zu gewährleisten. Als zertifizierte Nachhaltigkeitsmanagerin (TÜV) liegt es ihr sehr am Herzen, die Zukunftsfähigkeit für Neuentwicklungen oder Verbesserungen von Produkten und/oder Prozessen als Selbstverständlichkeit zu berücksichtigen und somit nachhaltige Lösungen zu gewährleisten.